Olá, pessoal, no artigo de hoje trataremos sobre as aplicações de Progressão Aritmética e Progressão Geométrica nas provas de concurso. Vamos lá?
Definição
Progressão nada mais é que o desenvolvimento de uma sequência que segue uma lei de formação (uma fórmula matemática). No nosso cotidiano estamos diante de várias sequências, tais como:
Aniversários: (20 anos, 21 anos, 22 anos e etc.)
Anos de copa do mundo: (1994, 1998, 2002 e etc.)
Sequência dos números naturais: (0, 1, 2, 3, 4 e etc.)
Dentro desse contexto temos a Progressão Aritmética e Progressão Geométrica que exploraremos a seguir.
Progressão aritmética (PA)
A progressão aritmética é uma sequência numérica que corresponde, a partir do segundo termo, à soma do termo anterior com uma constante. Essa constante chamamos de razão (r).
PA (a; a+r; a + 2r; …)
Imaginemos que temos um termo inicial que valha 1 e que a razão seja de 3, teremos a seguinte sequência:
{1; 4; 7; …}
Bem tranquilo, não é mesmo? Mas e se quisermos saber o 99º termo? Seria muito trabalhoso realizar essa sequência “na mão”, por isso a necessidade de conhecermos as fórmulas que exploraremos à frente.
Além disso, a P.A poderá ser classificada como:
Crescente: (1; 2; 3…) r = +1
Decrescente: (1; 0; -1) -> r = -1
Constante: (1; 1; 1) -> r = 0
Obs. A classificação nem é tão importante assim, mas devemos observar que os valores poderão ser positivos ou negativos a depender do caso.
Progressão geométrica (PG)
Já a progressão geométrica é uma sequência numérica que corresponde, a partir do segundo termo, à multiplicação do termo anterior pela razão (q).
PG [a; a.q; a.q²; …]
Vamos utilizar os mesmos números do exemplo anterior para determinar a sequência utilizando a PG.
{1; 3; 9; …}
Referente às classificações, além das que vimos na PA, a PG também poderá ser oscilante, quando a razão (q) for menor que 0.
{1; -2; 4; -8; 16;…}
Fórmulas PA
Agora que já definimos o conceito de PA vejamos as principais fórmulas associadas ao tema.
Definição: Já definimos a PA, mas matematicamente ela pode ser descrita.
Termo Geral: Trata-se da fórmula mais importante, essa deve ser decorada.
Razão: A razão pode ser definida pela diferença entre dois termos consecutivos.
Soma dos termos:
Essa fórmula pode ser bem útil para encontrar a soma dos termos da sequência.
Voltando ao nosso exemplo de PA (a1 = 1 e r = 3), vamos encontrar a soma dos cinco primeiros termos.
Primeiro determinaremos o quinto termo.
Agora basta aplicar a fórmula
Veja que é muito mais fácil que encontrar toda a sequência e somá-la termo a termo.
∑{ 1; 4; 7; 10; 13} = 35
Equivalência dos termos da PA: Trata-se de uma propriedade interessante da PA, em que:
Onde,
n + m = p + t
Utilizando os valores da sequência anteriormente vista {1; 4; 7; 10; 13}, teremos que:
Essa fórmula é bem útil para determinar um termo a partir de outros termos dados pelo exercício, sem conhecer a razão, por exemplo.
Fórmulas PG
As principais fórmulas para a Progressão Geométrica são:
Definição:
Termo Geral:
Razão: A razão pode ser encontrada pela divisão entre dois termos consecutivos.
Soma dos termos:
Aqui temos uma diferença em relação à P.A, pois podemos encontrar a soma de “n” termos da mesma forma que a PA, porém também podemos encontrar a soma infinita dos termos, desde que a razão esteja entre -1 e 1.
Soma finita dos termos:
Vamos encontrar a soma dos cinco primeiros termos da PG, considerando que a1 = 1 e r = 3.
O quinto termo será:
Então,
Confirmando,
∑{1; 3; 9;27; 81} = 121
Soma infinita dos termos:
Para somas de infinitos termos utilizamos a seguinte fórmula (atenção à condição!):
Condição: -1 < q < 1
Exemplo numérico:
E existe uma explicação? Claro, ao avançarmos na sequência (n tendendo ao infinito) em que a razão (q) atende à condição -1 < q < 1, os valores serão cada vez menores, tendendo a zero, dessa forma é possível determinar o valor da soma, essa é a ideia de limite.
{ 5; 2,5; 1,25; 0,625; 0,3125; 0,15625; 0,078125; ….}
Equivalência dos termos da PG: Assim como na PA, é possível determinar um termo a partir de sua “distância/posição”, porém atenção, pois na PG encontraremos a partir do produto e não da soma.
Onde,
n + m = p + t
Utilizando os números de nossa sequência {1; 3; 9; 27; 81} teremos que:
Resumo Estratégico
Com objetivo de facilitar sua revisão, vejamos uma tabela com as fórmulas que resolvem a grande maioria dos exercícios sobre Progressão Aritmética e Progressão Geométrica.
